Differentialformen und Oberflächenintegrale

Gauss und Stokes im Zweidimensionalen

\begin{array}{l} Wenn man den Differentialformenkalk ü l und das Lebesgue Integral als bekannt voraussetzt, \\ kann man viele wichtige Aussagen der Vektoranalysis auf eine einzige Schl ü sselformel, \\ n ä mlich den Integralsatz von Stokes zur ü ckf ü hren : \\ \int_{dA} w = \int_{A} dw \\ dabei ist w eine Differentialform und dw die
         zu ihr gehoerige Ableitung \\ A ist ein Kompaktum und dA ist der Rand
        des Kompaktums, \\ welcher im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen wird. \\ z.B. gilt für die zur Differentialform w = f gehörige Ab l eitung dw = df = f' dx : \\ f (b) - f (a) = \int_{\{a,b\}} f = \int_{d [a,b]} f = \int_{d [a,b]} w = \int_{[a,b]} dw = \int_{a}^{b} f' (x) dx \\ das ist der Hauptsatz der Integralrechnung im Eindimensionalen \\ Für die Differentialform w = fdx + gdy ist ihre zug. Ableitung dw = (\frac{δ g}{δ x} - \frac{δ f}{δ y}) dxdy \\ Damit hat man als Ergebnis den - klassischen - Satz von Stokes im Z w eidimensionalen : \\ \int_{dA} fdx + gdy = \int_{dA} w = \int_{A} dw = \iint_{A} (\frac{δ g}{δ x} - \frac{δ f}{δ y}) dxdy = \iint_{A} rot (f,g) dxdy = \iint_{A} rot (f,g) • \vec{n} dF \\ Mit der Differentialform w = fdy - gdx und deren Ableitung dw = (\frac{δ f}{δ x} + \frac{δ g}{δ y}) dxdy \\ erhält man den Satz von Gauss im Zweidimensionalen : \\ \int_{dA} (f,g) • \vec{n} ds = \int_{dA} fdy - gdx = \int_{dA} w = \int_{A} dw = \iint_{A} (\frac{δ f}{δ x} + \frac{δ g}{δ y}) dxdy = \iint_{A} div (f,g) dxdy \end{array}